Định lý nhỏ của Fermat phát biểu rằng nếu p là số nguyên tố thì với bất kỳ số nguyên b nào, số b p − b là bội số của p . Số Carmichael là hợp số có thuộc tính này. Số Carmichael còn được gọi là giả Fermat hoặc giả Fermat tuyệt đối . Một số Carmichael sẽ vượt qua bài kiểm tra Fermat cho mọi cơ số b nguyên tố cùng nhau với số đó, mặc dù nó không thực sự là số nguyên tố. Điều này làm cho các phép thử dựa trên Định lý Nhỏ của Fermat kém hiệu quả hơn các phép thử nguyên tố có khả năng xảy ra mạnh như phép thử tính nguyên tố Baillie – PSW và phép thử tính nguyên tố Miller – Rabin .

Tuy nhiên, không có số Carmichael nào là giả Euler – Jacobi hoặc giả mạnh đối với mọi nguyên tố cùng nhau với nó .[3] Vì vậy, về lý thuyết, Euler hoặc một phép thử nguyên tố có khả năng xảy ra mạnh có thể chứng minh rằng số Carmichael trên thực tế là hợp số.

Arnault [4] đưa ra số Carmichael gồm 397 chữ số N {\displaystyle N} đó là giả mạnh đối với tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn 307:

N = p ⋅ ( 313 ( p − 1 ) + 1 ) ⋅ ( 353 ( p − 1 ) + 1 ) {\displaystyle N=p\cdot (313(p-1)+1)\cdot (353(p-1)+1)}

Khi

p = {\displaystyle p=} 29674495668685510550154174642905332730771991799853043350995075531276838753171770199594238596428121188033664754218345562493168782883

là một số nguyên tố gồm 131 chữ số. p {\displaystyle p} là thừa số nguyên tố nhỏ nhất của N {\displaystyle N} , vì vậy số Carmichael này cũng là một giả (không nhất thiết phải mạnh) đối với tất cả các số nhỏ hơn p {\displaystyle p} .

Khi số lượng ngày càng lớn, số lượng số Carmichael ngày càng ít. Ví dụ: có 20.138.200 số Carmichael từ 1 đến 10 21 (xấp xỉ một trong 50 nghìn tỷ (5 · 10 13 ) số).